FEM은 유한 요소 분석(FEA)으로 알려진 실용적인 응용 프로그램에서 가장 잘 이해됩니다. 엔지니어링에 적용되는 FEA는 엔지니어링 분석을 수행하기 위한 전산 도구입니다. 여기에는 복잡한 문제를 작은 요소로 나누는 메시 생성 기술의 사용과 FEM 알고리즘으로 코딩된 소프트웨어 프로그램의 사용이 포함됩니다. FEA를 적용할 때, 복잡한 문제는 일반적으로 오일러-베르누이 빔 방정식, 열 방정식 또는 PDE 또는 적분 방정식으로 표현된 Navier-Stokes 방정식과 같은 기본 물리학을 가진 물리적 시스템이며, 분할된 작은 방정식은 복잡한 문제의 요소는 물리적 시스템의 다른 영역을 나타냅니다. 두 개의 인접 기준 함수는 두 개의 삼각형 요소를 공유합니다. 따라서 위에 표시된 것처럼 두 기본 함수 간에 약간의 중복이 있습니다. 또한 i = j인 경우 함수 간에 완전한 중복이 있습니다. 이러한 기여는 시스템 매트릭스 Ajj의 대각선 구성요소에 해당하는 알려지지 않은 벡터 T에 대한 계수를 형성한다. 문제 P1은 안티 유도체를 계산하여 직접 해결할 수 있습니다.
그러나 경계 값 문제(BVP)를 해결하는 이 방법은 하나의 공간 차원이 있고 더 높은 차원의 문제또는 u + u와 같은 문제로 일반화되지 않는 경우에만 작동합니다. 이러한 이유로, 우리는 P1에 대한 유한 요소 방법을 개발하고 P2에 대한 일반화를 설명합니다. 이러한 방정식 세트는 요소 방정식입니다. 기본 PDE가 선형인 경우 선형이며 그 반대의 경우도 마찬가지입니다. 정상 상태 문제에서 발생하는 대수 방정식 세트는 숫자 선형 대수 방법을 사용하여 해결되고, 과도 문제에서 발생하는 일반 미분 방정식 세트는 표준 기법을 사용하여 수치 통합으로 해결됩니다. 오일러의 방법 또는 Runge-Kutta 방법으로. 위에서 언급했듯이 Galerkin 메서드는 기본 함수 및 테스트 함수에 대해 동일한 함수 집합을 사용합니다. 그러나, 이 방법조차도, 기초 함수(즉, Galerkin 유한 요소 제형의 요소)를 정의하는 여러 가지 방법(이론적으로 무한히 많다)이 있다.
